По образованию филолог (кандидат филологических наук), в 1987 году окончил факультет иностранных языков Иркутского государственного университета. В 1992 получил второе высшее образование по специальности театральный режиссёр, окончив режиссерский факультет ГИТИСа, ныне − РАТИ (мастерская Анатолия Васильева). В 1996—1997 годах стажировался в Халльском университете в Великобритании. В 1997 году он защитил кандидатскую диссертацию по английской литературе в Московском педагогическом государственном университете имени Ленина по теме «Ориентальные мотивы в творчестве Оскара Уайльда». В 1988-1998 был доцентом кафедры английской филологии Якутского универститета, преподавал стилистику английского языка и анализ художественного текста.


Первой публикацией Геласимова стал перевод американского писателя Робина Кука «Сфинкс», опубликованный в журнале «Смена» в начале 90-х. В 2001 году была издана повесть о первой любви «Фокс Малдер похож на свинью», которая вошла в шорт-лист премии Ивана Петровича Белкина за 2001 год, в 2002 году повесть «Жажда» о молодых ребятах, прошедших Чеченскую войну, опубликованная в журнале «Октябрь», также вошла в сокращённый список премии Белкина и была отмечена премией имени Аполлона Григорьева, а также ежегодной премией журнала «Октябрь». В 2003 году в издательстве «О.Г.И.» вышел роман «Год обмана», в основе сюжета которого классический «любовный треугольник», ставший самой распродаваемой книгой Геласимова на сегодняшний момент. В сентябре 2003 вновь журнал «Октябрь» публикует роман «Рахиль» о немолодом уже профессоре-филологе Святославе Койфмане, еврее-полукровке, типичном неудачнике. В 2004 году за этот роман Геласимов удостоился премии «Студенческий Букер».


В 2005 на Парижском книжном Салоне Андрей Геласимов был признан самым популярным во Франции российским писателем, обойдя Людмилу Улицкую и Бориса Акунина. В составе делегаций российских писателей участвовал в международных книжных ярмарках во Франкфурте (2003), Лейпциге (2004), Варшаве (2004), Париже (2005), Будапеште (2005), Женеве (2007). Принимал участие в региональных книжных выставках в Бордо (Франция, 2005), Сен-Мало (Франция, 2005), Фюво (Франция, 2007), Монпелье (Франция, 2008), Ди (Франция, 2008). Переведен на французский, каталанский, испанский, сербский, эстонский, иврит, а также - английский, немецкий, китайский, латышский, венгерский, чешский и шведский языки.


В 2008 в издательстве ЭКСМО вышел роман Геласимова «Степные боги». В основе сюжета книги лежит история дружбы забайкальского подростка Петьки и пленного японца - врача Хиротаро.


В 2009 году стал лауреатом литературной премии «Национальный бестселлер» за роман «Степные боги».


Среди своих литературных учителей Геласимов называет Уильяма Фолкнера, Иосифа Бродского и Эрнеста Хемингуэя.